MEDIDAS DE POSICIÓN
Las medidas de posición relativa se llaman en general cuantiles y se pueden clasificar en tres grandes grupos: Cuartiles, quintiles, deciles, percentiles.
Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles dividen a una distribución ordenada en partes iguales. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
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Los Cuartiles (Qn):
son los tres valores de la variable de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales, es decir, al 25%, 50% y 75%. Para calcular el valor de uno de los cuatro Cuartiles, se utiliza la formula:
Qk = k (n/4)
En donde:
Qk = Cuartil número 1, 2, 3 ó 4
n = total de datos de la distribución.
Se advierte que la posición del segundo cuartil corresponde a la ubicación de la mediana, es decir que el segundo cuartil será siempre igual a la mediana.
Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) debes seguir los siguientes pasos:
1º Se ordenan los datos de menor a mayor.
2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k (n/4)
Para que te quede más claro:
El primer cuartil (Q1) es el valor de la variable que supera a lo más el 25 % de los datos y es superado por a lo más el 75 % de ellos en la distibución ordenada de menor a mayor.
El segundo cuartil (Q2) es un valor que supera a lo más el 50 % de los datos y es superado por a lo más el 50 % de ellos, es decir, Q2 coincide con la mediana.
El tercer cuartil (Q3) es un valor que supera a lo más al 75 % de los datos y es superado por a lo más el 25 % de ellos.
Ejemplos:
a) Dado el siguiente conjunto de datos: 2 ; 5 ; 9 ; 3 ; 13 ; 10 ; 11 ; 6 ; 7. ¿Cuál es el valor del tercer cuartil?
1° ordenamos los datos de menor a mayor:
2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13
n= 9
2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k (n/4)
Q3 = 3 (9 /4)
Q3 = 6,75;
En caso de ser un número decimal se aproxima al entero más cercano superior , que sería 7. Este valor indica la posición del cuartil 3.
En nuestro caso el 7° valor sería :
2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13
Respuesta: el valor del tercer cuartil sería 10
b) Dadas las siguientes tablas de datos. Calcule los cuartiles Q1,Q2,Q3
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Respuesta:
En la primera serie el número total de datos es n = 70, por lo que:
Q1 → 1(n/4) = 1( 70/4 ) = 17,5 (indica la posición en que se encuentra el Q1)
Q2→ 2 (n/4) = 2 (70/4) = 35 (indica la posición en que se encuentra el Q2)
Q3→ 3 (n/4) =3 (70/4) = 52,5 (indica la posición en que se encuentra el Q3)
Y se desprende directamente de la tabla de frecuencias absolutas que:
Q1 = 5, ya que si nos fijamos en la tabla el número 17,5 se encuentra contenido en el número 32 de la tabla.
Q2 = 7, ya que si nos fijamos en la tabla el número 35 se encuentra contenido en el número 52 de la tabla.
Q3 = 10, ya que si nos fijamos en la tabla el número 52,5 se encuentra contenido en el número 66 de la tabla.
En la segunda serie el número total de datos es n = 64, por lo que:
Q1 → 1(n/4) = 1( 64/4 ) = 16
Q2→ 2 (n/4) = 2 (64/4) = 32
Q3→ 3 (n/4) =3 (64/4) = 48
Y se desprende directamente de la tabla de frecuencias absolutas que:
Q1 = 5
Q2 = (5+7) / 2 = 6
Q3 = 7
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DECILES
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Los deciles son los nueve valores que dividen una serie de datos ordenados en diez partes iguales. Corresponden a los 9 valores que dividen a estos en 10 partes iguales es decir, al 10%, al 20%... y al 90%. Los Deciles se designan por D1, D2,..., D9
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra ,
en la tabla de las frecuencias acumuladas.
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Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil
N es la suma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil
ai es la amplitud de la clase
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Aplicación de deciles en la Encuesta de Presupuestos Familiares, España, 1996
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El recurso a los percentiles no es frecuente en Ciencias Sociales pero son muy conocidos en su aplicación en antropometría y, en particular, en la evaluación del crecimiento de la infancia. Las madres y padres suelen estar muy ansiosos con el peso y la talla de sus bebés, todos desean infantes grandes en talla y medianos en peso. Las respectivas curvas de percentiles permiten conocer el patrón de crecimiento de cada persona y se establecen mediante procedimientos 9 estandarizados de carácter transversal, confeccionados a partir de muestras representativas de la población de referencia
PERCENTILES
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son los noventa y nueve valores de la variable de una distribución que la dividen en cien partes iguales es decir, al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. Los percentiles se designan por P1, P2,... P99
P50 coincide con la mediana.
El percentil p (Pp) es un valor de la variable tal que el p% de la muestra está por debajo y el (100p) % está sobre.
Al tener una tabla de frecuencias, el percentil de orden K (Pk) se calcula siguiendo los siguientes pasos:
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1° Se determina el intervalo al cual pertenece el percentil por calcular en la tabla de frecuencias:
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en donde:
K = {1, 2, …, 99}
n es el número de datos. Si es decimal se aproxima al entero más cercano superior.
Buscamos este valor en la columna de la frecuencia acumulada. El cual es el primer valor de x cuya frecuencia acumulada sobrepasa el resultado de este cálculo.
2° Luego, Para calcular el percentil Pk correspondiente al k% de los datos se puede utilizar la siguiente fórmula:
Donde:
Li es el límite inferior del intervalo donde se encuentra el k% de los datos.
ai es la amplitud del intervalo donde se encuentra el k% de los datos.
fi es la frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el k% de los datos.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra el k% de los datos.
n es el total de datos.
DESVIACION ESTANDAR
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La fórmula de la desviación estándar (DE) es:
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La desviación estándar es la medida de dispersión más común, que indica qué tan dispersos están los datos con respecto a la media. Mientras mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión de los datos.
El símbolo σ (sigma) se utiliza frecuentemente para representar la desviación estándar de una población, mientras que s se utiliza para representar la desviación estándar de una muestra. La variación que es aleatoria o natural de un proceso se conoce comúnmente como ruido.
La desviación estándar se puede utilizar para establecer un valor de referencia para estimar la variación general de un proceso.
EJERCICIOS
En 2006 la tasa de paro promedio en la UE-27 se situó en 6,6 por ciento para los hombres y en un 8,0 por ciento para las mujeres. Sin embargo, estas medidas incluyen realidades muy diferentes de desempleo en la geografía europea. a) Con los datos del siguiente cuadro establezca los valores cuartiles, los deciles 4 y 6; y los percentiles 30, 65 y 85
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Para proceder a la identificación de las posiciones cuantiles, es necesario ordenar la variable tasa de paro –hombres y mujeres, en este caso se ha seguido un criterio ascendente-. A continuación, se calcula el número de observaciones de las posiciones cuantiles y se localiza su valor en la tabla de distribución de frecuencias.
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EJERCICIO 2:
Uno de los indicadores de evaluación de excelencia entre los estudiantes universitarios europeos es el número de libros leídos por cuatrimestre. A partir de la siguiente información a) Determine las siguientes posiciones cuantiles: centil 30, decil 2 y cuartil 3.
Se ordena la distribución, esta vez se decide emplear un sentido descendente. En este ejercicio, el orden descendente de la variable implica que las posiciones cuantiles menores representarían las mejores posiciones de rendimiento de los estudiantes universitarios europeos. Se elabora una tabla completa de distribución de frecuencias utilizando los datos de la variable cuantitativa –libros leídos por cuatrimestre
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La posición relativa que ocupa la Universidad Complutense de Madrid en el conjunto de la distribución se localiza posteriormente a la mediana, es decir, quedaría en el subconjunto de centros que menos leen, pero en una posición muy próxima a la tendencia central.
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